Sistem Bilangan Real Dan Himpunan

Himpunan Bilangan Real

A.    Bilangan

a.      Pengertian Bilangan

Bilangan adalah suatu idea yang bersifat abstrak. Bilangan bukan simbol atau lambang dan bukan pula lambang bilangan. Bilangan memberikan keterangan tentang banyaknya anggota himpunan, misalnya A = { a,b,c }.

b.      Macam – Macam Bilangan

 Bilangan kompleks adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai penjumlahan, perkalian, pengurangan, dan pembagian antara bilangan real dan bilangan imajiner.

 Bilangan imajiner adalah bilangan bulat negatif dibawah tanda akar. Misalnya,  dan 

 Bilangan cacah adalah bilangan yang dimulai dari angka nol.

 Bilangan asli adalah bilangan yang dimulai dari angka satu.

 Bilangan rasional adalah bilangan bulat yang terdiri dari bilangan bulat, pecahan, dan nol.

 Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan bilangan pecahan atau bilangan yang bukan irasional. Misalnya, = 3,14092653509 …..

 Bilangan prima adalah bilangan asli yang mempunyai tepat dua faktor. Misalnya, 7 = { 1, 7 }

 Bilangan komposit adalah bilangan bulat yang bukan bilangan prima. Misalnya, 4 = { 1, 2, 4 }

B.    Himpunan

a.      Pengertian Himpunan

Himpunan adalah set atau suatu kumpulan atau kelompok elemen-elemen yang memenuhi syarat keanggotaan di elemen-elemen tersebut dinamakan anggota dari himpunan. Himpunan disajikan dalam bentuk notasi { …. } sedangkan anggota dari himpunan ditulis dengan simbol. Misalnya :

1.  e menjadi anggota himpunan F, ditulis e  F.

2.  s bukan anggota himpunan W, ditulis s  W.

3.  Jika a,b,c anggota dari suatu himpunan C, ditulis C = { a,b,c }.

4.  Himpunan yang terdiri dari elemen-elemen yang memenuhi sifat y, ditulis A = { x │ x yang memenuhi sifat y }.

C.    Himpunan Bilangan Real

Himpunan bilangan real adalah sekumpulan bilangan rasional dan irasional. Secara lengkap dapat dilihat dari bagan berikut :

   Sifat-Sifat Bilangan Real

a.     Sifat Medan

Jika x, y, z adalah anggota bilangan real, maka :

1.  x + y = y + x dan xy = yx (Hukum Komutatif)

2.  x + ( y+z ) = ( x+y ) + z dan x ( yz ) = ( xy ) z (Hukum Asosiatif)

3.  x( y+z ) = xy + xz (Hukum Distributif)

4.  Terdapat bilangan real yang berlainan 0 dan 1 sehingga x + 0 = x dan x . 1 = x (Unsur Identitias)

5.  Setiap bilangan x mempunyai invers penjumlahan –x sehingga x + (-x) = 0 dan mempunyai invers perkalian  x-1 sehingga x ( x-1) = 1 (Unsur Invers)

b.     Sifat Urutan

i.   Trikotomi. Jika x dan y bilangan, maka pasti berlaku salah satu x < y atau x = y atau x > y

ii.   Transitif. x < y dan y < z maka x < z

iii.   Penambahan. x < y  x + z < y + z

iv.   Perkalian. Jika z bilangan positif, x < y maka x.z < y.z, jika z bilangan negatif, x < y maka x.z > y.z

   Garis Bilangan Real

Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan (real).

Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang (interval). Berikut beberapa interval, cara penulisannya dalam bentuk himpunan, dan grafiknya dalam garis bilangan.

   Pertidaksamaan

Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan { <, >, ≤, dan ≥ }. Bentuk umum pertidaksamaan sebagai berikut :

Keterangan : Dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0.

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga himpunan penyelesaian (Hp). Cara menentukan Hp :

1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : < 0, dengan cara ruas kiri atau ruas kanan dikalikan dengan nol. Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya.

2. Dicari titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi factor-faktor linier atau kuadrat.

3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda ( +, – ) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul.

Contoh Soal :

 1.   13 ≥ 2x – 3 ≥ 5

  2.   -2 <  6 – 4x ≤ 8

 3.   2×2 – 5x – 3 < 0 

   Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak x {│x│} didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif. Definisi nilai mutlak :

1.     Sifat-Sifat Nilai Mutlak

Contoh Soal :

 1.   │2x – 5│ < 3

  2.   │2x – 5│ < 3

 3.   │2x + 3│ ≥ │4x + 5│

Iklan